《行测》数学运算之不定方程解析
近几年的公务员行测考试中，对于不定方程的应用比较多，从出题惯性上来说是比较热门的，但是由于不定方程的求解本身极具科研价值，所以对于不定方程的考察不可能倾向于学术性的考察，但是对于不定方程基本性质的考察却是出题的热点。
不定方程的概念
首先我们需要说明一下什么是不定方程，从最基本的数学知识点出发，我们知道方程可解，是一个方程组对应一个方程解，但是这里是需要满足一定的条件，这里的条件就是未知数的个数要等于方程的个数。比如：x=3。这里是一个未知数对应一个方程，方程只有一个确定的解，即x=3。
再进一步延伸可以得到，对于方程组x+y=2，x-y=1。两个未知数对应两个方程，我们都可以得到一个确定的解，而且解只有一个。但是，当未知数的个数多余方程的个数的时候，我们得到的方程就是不定方程。比如：x+y=2，两个位置数对应一个方程。对于这个不定方程的解，我们可以得到：x=0，y=2;x=1，y=1;x=2，y=0;……其解得个数在不限制其他条件的情况下是无限多的，这就是不定方程最基本的性质。
不定方程的应用情况
1.首先是来源于“鸡兔同笼”方程组的应用，即二元一次方程。
例1：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个( )?(情况1的普通应用)
A. 3，7 B. 4，6 C. 5，4 D. 6，3
在这个题目中，我们求解时首先必然是列方程，设大、小盒子的个数各为x，y。则有，11x+8y=89。有且仅有这样一个方程，而这一个方程就是不定方程，由不定方程的性质我们可以知道，其解得个数可以是无限多的，但是由于这里盒子的个数应该是整数，故其解应该是比较确定的值，但是依然无法直接求解，故此类不定方程我们采用带入排除的方式进行解题。答案只有A满足。
例2：工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个，现在两人各花20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个?( )(情况1的复杂应用)
A. 34个 B. 32个
C. 30个 D. 28个
此题当中，我们可以首先假设甲、乙两人20分钟生产的都是螺丝，则一共可生产(3+2)×20=100个， 但是螺丝和螺丝帽共生产了134个，相差的34个零件一定是因为做螺丝帽多出来的，而甲做一分钟螺丝帽可以多生产出9-3=6个零件，乙做一分钟螺丝帽可以多生产出7-2=5个零件。设甲、乙分别生产了x、y分钟螺丝帽，则有6x+5y=34，x只能取4，则y=2，所以甲乙共生产螺丝帽4×9+2×7=50个，螺丝134-50=84个，螺丝比螺丝帽多34个。所以选A。
这类题目当中，需要我们得到不定方程的整数解而不是所有解，对于解的限制我们可以得到一个确定的解。
2.不定方程类的问题再进一步的推广，有下面3元一次方程组的应用。
例1：甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱( )
A.10元 B.11元 C.17元 D.21元
在这个题目当中，我们可设签字笔、圆珠笔、铅笔的钱数各为x、y、z，列方程可以得到，3x+7y+z=32， 4x+10y+z=43。 我们要求x+y+z=?，但是所列方程组为3个未知数，2个方程，是一个不定方程组，其解得个数是无限多的，但是由不定方程组的性质我们可以知道，不定方程组的任意一组解都满足x+y+z=?这个等式，故我们只需要得到此方程组的一个特解就可以，可以令y=0，则有3x+z=32， 4x+z=43。解得x=11，z=-1，则有x+y+z=10，故该题答案选A。
对于不定方程类问题的考察，近年来再公务员考试中趋向于逐渐复杂化，因此对于不定方程的学习和练习要进行系统总结，并强化提高。
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不定方程的概念
首先我们需要说明一下什么是不定方程，从最基本的数学知识点出发，我们知道方程可解，是一个方程组对应一个方程解，但是这里是需要满足一定的条件，这里的条件就是未知数的个数要等于方程的个数。比如：x=3。这里是一个未知数对应一个方程，方程只有一个确定的解，即x=3。
再进一步延伸可以得到，对于方程组x+y=2，x-y=1。两个未知数对应两个方程，我们都可以得到一个确定的解，而且解只有一个。但是，当未知数的个数多余方程的个数的时候，我们得到的方程就是不定方程。比如：x+y=2，两个位置数对应一个方程。对于这个不定方程的解，我们可以得到：x=0，y=2;x=1，y=1;x=2，y=0;……其解得个数在不限制其他条件的情况下是无限多的，这就是不定方程最基本的性质。
不定方程的应用情况
1.首先是来源于“鸡兔同笼”方程组的应用，即二元一次方程。
例1：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个( )?(情况1的普通应用)
A. 3，7 B. 4，6 C. 5，4 D. 6，3
在这个题目中，我们求解时首先必然是列方程，设大、小盒子的个数各为x，y。则有，11x+8y=89。有且仅有这样一个方程，而这一个方程就是不定方程，由不定方程的性质我们可以知道，其解得个数可以是无限多的，但是由于这里盒子的个数应该是整数，故其解应该是比较确定的值，但是依然无法直接求解，故此类不定方程我们采用带入排除的方式进行解题。答案只有A满足。
例2：工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个，现在两人各花20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个?( )(情况1的复杂应用)
A. 34个 B. 32个
C. 30个 D. 28个
此题当中，我们可以首先假设甲、乙两人20分钟生产的都是螺丝，则一共可生产(3+2)×20=100个， 但是螺丝和螺丝帽共生产了134个，相差的34个零件一定是因为做螺丝帽多出来的，而甲做一分钟螺丝帽可以多生产出9-3=6个零件，乙做一分钟螺丝帽可以多生产出7-2=5个零件。设甲、乙分别生产了x、y分钟螺丝帽，则有6x+5y=34，x只能取4，则y=2，所以甲乙共生产螺丝帽4×9+2×7=50个，螺丝134-50=84个，螺丝比螺丝帽多34个。所以选A。
这类题目当中，需要我们得到不定方程的整数解而不是所有解，对于解的限制我们可以得到一个确定的解。
2.不定方程类的问题再进一步的推广，有下面3元一次方程组的应用。
例1：甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱( )
A.10元 B.11元 C.17元 D.21元
在这个题目当中，我们可设签字笔、圆珠笔、铅笔的钱数各为x、y、z，列方程可以得到，3x+7y+z=32， 4x+10y+z=43。 我们要求x+y+z=?，但是所列方程组为3个未知数，2个方程，是一个不定方程组，其解得个数是无限多的，但是由不定方程组的性质我们可以知道，不定方程组的任意一组解都满足x+y+z=?这个等式，故我们只需要得到此方程组的一个特解就可以，可以令y=0，则有3x+z=32， 4x+z=43。解得x=11，z=-1，则有x+y+z=10，故该题答案选A。
对于不定方程类问题的考察，近年来再公务员考试中趋向于逐渐复杂化，因此对于不定方程的学习和练习要进行系统总结，并强化提高。
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