行测之数学运算排列组合
排列组合问题是公务员考试数学运算中常见的题型，河南公务员考试网为广大考生整理基本知识点：
1、排列：从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。
2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
4、分类计数原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
（1）加法原理和分类计数法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）
（2）乘法原理和分步计数法
1.乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]排列组合思维方法选讲
1.首先明确任务的意义
例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C（10,2）*2*2=180
2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例2.在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
例3.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
（A）240 （B）180 （C）120 （D）60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例4.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6.2）*C（4.2）*C（2.2）=90种。
例5.在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C（5.2）*C（4.4）=10
第二类：这两人有一个去当钳工， C（2.1）*C（5.3）*C（5.4）=100
第三类：这两人都不去当钳工， C（5.4）*C（6.4）=75
因而共有185种。
例6.停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有P（9.8）种停车方法。
3.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例7.六人站成一排，求
（1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数
（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：
（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有P（5.5）种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有C（4.1）C（4.1）P（4.4）种站法，
法2:P（6.6）-P（5.5）*2+P（4.4）
（2）
第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共312种。
法2:甲乙相邻的排法数
C（4,1）*C（3,1）*2*P（3,3）+P（4,4）+P（4,4）=192
头尾取非甲乙，乙头，甲尾。
504-192=312
例8.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C（4.1）种可能；
第二步：前四次有一件正品有C（6.1）种可能。
第三步：前四次有P（4.4）种可能。
C（4.1）*C（6.1）*P（4.4）
4.捆绑与插空
例9. 8人排成一队
（1）甲乙必须相邻
（2）甲乙不相邻
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：
（1）甲乙必须相邻 ，就是把甲乙捆绑（甲乙可交换） 和7人排列 P（7.7）*2
（2）甲乙不相邻 P（8.8）-P（7.7）*2
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻？？
先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P（6.6）*2*2
甲乙必须相邻且与丙不相邻 P（7.7）*2-P（6.6）*2*2
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 P（6.6）*2*2
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
P（8.8）-P（7.7）*2*2+P（6.6）*2*2
例10. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P（5.2）。
例11. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共C（6.3）=20种方法。
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1、排列：从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。
2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
4、分类计数原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
（1）加法原理和分类计数法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）
（2）乘法原理和分步计数法
1.乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]排列组合思维方法选讲
1.首先明确任务的意义
例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C（10,2）*2*2=180
2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例2.在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
例3.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
（A）240 （B）180 （C）120 （D）60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例4.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6.2）*C（4.2）*C（2.2）=90种。
例5.在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C（5.2）*C（4.4）=10
第二类：这两人有一个去当钳工， C（2.1）*C（5.3）*C（5.4）=100
第三类：这两人都不去当钳工， C（5.4）*C（6.4）=75
因而共有185种。
例6.停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有P（9.8）种停车方法。
3.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例7.六人站成一排，求
（1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数
（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：
（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有P（5.5）种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有C（4.1）C（4.1）P（4.4）种站法，
法2:P（6.6）-P（5.5）*2+P（4.4）
（2）
第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共312种。
法2:甲乙相邻的排法数
C（4,1）*C（3,1）*2*P（3,3）+P（4,4）+P（4,4）=192
头尾取非甲乙，乙头，甲尾。
504-192=312
例8.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C（4.1）种可能；
第二步：前四次有一件正品有C（6.1）种可能。
第三步：前四次有P（4.4）种可能。
C（4.1）*C（6.1）*P（4.4）
4.捆绑与插空
例9. 8人排成一队
（1）甲乙必须相邻
（2）甲乙不相邻
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：
（1）甲乙必须相邻 ，就是把甲乙捆绑（甲乙可交换） 和7人排列 P（7.7）*2
（2）甲乙不相邻 P（8.8）-P（7.7）*2
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻？？
先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P（6.6）*2*2
甲乙必须相邻且与丙不相邻 P（7.7）*2-P（6.6）*2*2
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 P（6.6）*2*2
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
P（8.8）-P（7.7）*2*2+P（6.6）*2*2
例10. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P（5.2）。
例11. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共C（6.3）=20种方法。
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