中国剩余定理在湖北公务员考试数学运算中的运用

2014-12-16 16:31:29 字号：小 | 中 | 大【打印】

　　一、中国剩余定理的由来

　　我国古代数学名着《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

　　二、“中国剩余定理”算理及其应用

　　明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

　　三人同行七十（70）稀，

　　五树梅花廿一（21）枝，

　　七子团圆正月半（15），

　　除百零五（105）便得知。

　　歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：

　　70×2＋21×3＋15×2－105×2=23

　　为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

　　三、“中国剩余定理”的应用

　　主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目。

　　【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

　　A．81 B．34 C．128 D．103

　　【答案】B

　　【解析】本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。

　　则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

　　为了使20被3除余1，用20×2=40；

　　使15被4除余1，用15×3=45；

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

　　因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。所以选择B选项。