2013湖北公务员考试数学运算之容斥原理
2013年湖北公务员考试预计在3月左右启动，时间充裕的考生现在开始可着手准备，复习时可参考2013年湖北公务员考试提前复习教材。数学运算主要测查报考者解决数量关系问题的能力。容斥原理为数量关系考试题型之一，在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。所谓容斥原理即为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。下面湖北公务员考试网（http://ww.chinagwyw.org/hubei/）专家将对容斥原理进行详细分析：
一、容斥原理关键公式
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B )
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
二、例题精解：
【例1】分母是1001的最简分数一共有多少个？
【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个。
由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个。
【例2】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )
A.22 B.18 C.28 D.26
【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案为A。
【例3】
某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
【例4】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人?
【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96;
A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
推荐阅读：
2013年湖北公务员备考数学运算常用解题方法
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一、容斥原理关键公式
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B )
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
二、例题精解：
【例1】分母是1001的最简分数一共有多少个？
【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个。
由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个。
【例2】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )
A.22 B.18 C.28 D.26
【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案为A。
【例3】
某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
【例4】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人?
【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96;
A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
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