2013国考行测考试中递推数列的解题方法

　　数字推理共有五种题型，其中与整数相关的有四种：多级、多重、幂次、递推。在这四种题型中，多级数列是最容易验证的：直接做差(或者其他运算，做差最多)就能得出结果;而多重和幂次数列又具有较强的识别性，比如一个数列长度较长，则很有可能是多重，如果一个数列中数字为幂次数或较大的两个数字周围存在幂次数，则这个数列很可能是幂次数列。当排除前三种情况以后，这个数列往往会朝递推数列的方向上考虑了。

　　递推数列，是整个数字推理中占比较高，难度较大，同时极富技巧性的一种题型。由于递推规律由出题者设定，所以规律千变万化。要答好递推数列题目，必须具备较高的数字敏感度，但这种要求过于“抽象”，对考生的启发有限。硕文公务员考试研究中心将提供一种更具操作性的思维流程，帮助初学者快速解决递推数列(由于第一段的简述，在以下论述包括例题分析中我们都默认给出数列为递推数列，而不再作数列类型判定的分析)。

　　递推数列从递推项数上分类，可分为单项递推、两项递推(比例最高)、三项递推(极少);从运算形态上分类，可分为和差型、积商型、倍数型、平方型以及混合型。所以，解答递推数列，必须判断出该数列是几项递推，以及递推形态属于哪一种。为此，我们可以按照以下五步来思考：

　　1.看长度(≥6)：首先，观察所给数列的数字个数，如果给出的数字个数在6个或者6个以上(如果所给数字在5个或者以下，直接进入第2步)，则需考察该数列是否为三项递推(事实上，长度在6个及以上，一般先考虑多重数列，但若排除多重考虑递推，则必须考虑三项递推情况)。考察的方式很简单：直接验证前三项依次相加是否等于后一项或者前三项依次相减是否等于后一项。由于三项递推常规都是简单加减，因此如果是，则规律找到，如果否，则该数列不会是三项递推，只可能是单项或者两项递推。

　　2.找目标数(大)：在思考递推数列时，往往要先找出一个目标数字，然后思考通过其他数字如何将目标数配凑出来，以此获得递推规律。找目标数时，通常将较大(绝对值)的数作为目标数，比如100至200左右的数最为合适，如果没有这么大的，则将题目中最大的数作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数(大小相邻)：从目标数的前两项中(如果数列呈递减趋势，则是后两项)选择一项，计算该项与目标数的倍数。在选择时，先选择与目标数大小相邻的项，如果不能得出规律，再考虑另一项。比如7、5、22这三个数，如果以22为目标数，则先考虑7与22的倍数关系，因为7和5这两个数字中与22大小相邻的是7。

　　4.根据3中的倍数确定递推形态：如果计算出的倍数在2倍以下，主要考虑和差型，如果倍数在2至5倍之间，主要考虑倍数型，如果倍数在5倍以上，主要考虑积商型和平方型。

　　5.考虑修正项规律：根据4中得到的递推形态计算出修正项并考虑修正项的规律。

　　下面，我们通过具体例题来展示以上步骤的操作过程。

　　【例1】(江西2008)1，3，5，9，17，31，57，( )

　　A.105 B.89

　　C.95 D.135

　　[答案]A

　　[解析]1.看长度：题目中所给数字在6个以上，首先验证三项递推是否成立：由于9=1+3+5，17=3+5+9，31=5+9+17，57=9+17+31，所以三项递推关系成立，下一项为17+31+57=105。因此，本题答案为A选项。

　　【例2】(湖南2008)1，-5，13，-29，( )

　　A.-61 B.-39

　　C.39 D.61

　　[答案]D

　　[解析]数列中的数字呈正负交错，所以下一项应为正数，答案当在C、D中选。下面考虑其绝对值的规律。

　　1.看长度：题目中所给数字4个，不考虑三项递推。

　　2.找目标数：选择题目中较大的数字29作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数：从目标数29的前两项(5和13)中选择与目标数大小相邻的项13，计算二者的倍数：29÷13。

　　4.确定递推形态：由于29÷13等于2倍多，在2至5倍之间，所以主要考虑倍数型，并且考虑2倍的关系。

　　5.考虑修正项：根据倍数型，有5=1×2+3，13=5×2+3，29=13×2+3，修正项均为3，所以下一项的绝对值为29×2+3=61。因此，本题答案为D选项。

　　【例3】(江苏2010B)3，5，9，16，28，( )

　　A.38 B.48

　　C.59 D.71

　　[答案]B

　　[解析]1.看长度：题目中所给数字5个，不考虑三项递推。

　　2.找目标数：选择题目中较大的数字28作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数：从目标数28的前两项(9和16)中选择与目标数大小相邻的项16，计算二者的倍数：28÷16。

　　4.确定递推形态：由于28÷16<2，所以主要考虑和差型。

　　5.考虑修正项：根据和差型，有9=3+5+1，16=5+9+2，28=9+16+3，修正项为+1，+2，+3，所以下一项修正项为+4，所填数字为16+28+4=48。因此，本题答案为B选项。

　　【例4】(江苏2010B)3，5，16，82，1315，( )

　　A.107834 B.12849

　　C.12847 D.108847

　　[答案]A

　　[解析]1.看长度：题目中所给数字5个，不考虑三项递推。

　　2.找目标数：选择题目中较大的数字82(1315太大，不予考虑)作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数：从目标数82的前两项(5和16)中选择与目标数大小相邻的项16，计算二者的倍数：82÷16。

　　4.确定递推形态：由于82÷16>5，所以要考虑积商型或平方型。在本题中162与82相差太多，而5×16=80，与82相差较小，所以主要考虑积商型。

　　5.考虑修正项：根据积商型，有16=3×5+1，82=5×16+2，1315=16×82+3，修正项为+1，+2，+3，所以下一项修正项为+4，所填数字为82×1315+4，由尾数为4可知只有A满足。因此，本题答案为A选项。

　　【例5】(浙江2012)3，-2，1，3，8，61，( )

　　A.3692 B.3713

　　C.3764 D.3816

　　[答案]B

　　[解析]1.看长度：题目中所给数字6个，需考虑三项递推，但显然不满足三项递推中所说的那几种规律，所以进入第2步。

　　2.找目标数：选择题目中较大的数字61作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数：从目标数61的前两项(3和8)中选择与目标数大小相邻的项8，计算二者的倍数：61÷8。

　　4.确定递推形态：由于61÷8>5，所以要考虑积商型或平方型。在本题中82与61相差较小，而3×8=24，与61相差较大，所以主要考虑平方型。

　　5.考虑修正项：根据平方型，有1=(-2)2-3，3=12-(-2)，8=32-1，61=82-3修正项为各项分别减去3，-2，1，3，该修正数列自身并无规律，但与原数列对比不难发现这些数正好是平方项之前的数字，所以原数列满足递推规律 ，所以下一项数字为612-8，由尾数为3可知只有B满足。因此，本题答案为B选项。

　　【例6】(天津、湖北、陕西联考2009)1，2，8，28，100，( )

　　A.196 B.248

　　C.324 D.356

　　[答案]D

　　[解析]1.看长度：题目中所给数字5个，不考虑三项递推。

　　2.找目标数：选择题目中较大的数字100作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数：从目标数100的前两项(8和28)中选择与目标数大小相邻的项28，计算二者的倍数：100÷28。

　　4.确定递推形态：由于100÷28等于3倍多，在2至5倍之间，所以主要考虑倍数型，并且考虑3倍的关系。

　　5.考虑修正项：根据倍数型，有8=3×2+2，28=3×8+4，100=3×28+16，修正项为+2，+4，+16，该修正数列自身并无规律，但与原数列对比不难发现这些数正好是原数列中1，2，8的两倍，所以原数列满足递推规律 ，所以下一项为3×100+2×28=356。因此，本题答案为D选项。

　　【例7】(安徽2009)5，15，10，215，( )

　　A.-205 B.-115

　　C.-225 D.-230

　　[答案]B

　　[解析]1.看长度：题目中所给数字4个，不考虑三项递推。

　　2.找目标数：选择题目中较大的数字215作为目标数。

　　3.计算相邻项与目标数的倍数：从目标数215的前两项(15和10)中选择与目标数大小相邻的项15，计算二者的倍数：215÷15。

　　4.确定递推形态：由于215÷15>5，所以要考虑积商型或平方型。在本题中152与215相差较小，而15×10=150，与215相差较大，所以主要考虑平方型。

　　5.考虑修正项：根据平方型，有10=52-15，215=152-10，修正项为各项分别减去15，10，该修正数列自身并无规律，但与原数列对比不难发现这些数正好是平方项之后的数字，所以原数列满足递推规律 ，所以下一项数字为102-215=-115。因此，本题答案为B选项。

　　由以上例题分析可以看出，文中提到的五步，过程机械、步骤具体，对思维要求较低，具有可操作性和一定的普遍适用性，只要掌握这个流程，即使是基础较差的考生或者初学者，也能在递推数列这一块快速上手。当然，另一方面，由于递推数列这种题型自身的灵活性和多变性，上述方法也不可能解决所有的递推数列问题，尤其是一些混合型或者特殊递推型。所以硕文公务员考试研究中心提醒广大考生，要想完全掌握好递推数列，还需要多思考多练习，提高数字敏感度和发散思维能力，只要肯下苦功，就一定能攻克递推数列这道难关。

　　硕文教育

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