2013国考行测必备：深度剖析“多次相遇问题”解题技巧
随着近几年公务员考试“高烧不退”的现象持续升温，国考试题的难度也越来越大。行程问题做为一种每年必考的题型，在试题的创新性上有很大的出题空间。综观几年的真题，常规题型虽是每年考试的“主力”，但更加复杂的“多次相遇”问题已在这两年里初试锋芒。硕文公务员考试研究中心通过归纳总结，将多次相遇问题可能在今后考试中出现的几种类型一一向大家进行展示，希望对备考的广大考生起到抛砖引玉的作用。
“多次相遇”问题有直线型和环型两种类型。相对来讲，直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。硕文公务员考试研究中心分开一一进行讲解。首先，来看直线型多次相遇问题。
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍：
(一)两岸型
两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面相遇：
如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程(把甲的bc挪到下边乙处)，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)s(s为全程，下同)。
※注：第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个“2倍关系”解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数 全程个数 再走全程数 全程时间 多走时间
1 1 1 t t
2 3 2 3t 2t
3 5 2 5t 2t
4 7 2 7t 2t
… … … … …
n 2n-1 2 (2n-1)t 2t
2、背面相遇[杨洁1]
与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。则第一次背面相遇在a处。第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处第二次背面相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)s。
(二)单岸型
单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1、迎面相遇：
如下图，甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，共走2个全程。再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面第二次相遇，共走4个全程，则从a处相遇到b处两人共走了两个全程，与第一次相遇时的路程和相同，依次类推，每次迎面相遇多走2个全程，可得出：当第n次迎面相遇时，两人的路程和为2ns，每次相遇用的时间相同。
2、背面相遇
与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处背面相遇。由图，第一次相遇两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，每次相遇，两人多走的路程差均为2s，可以得出：当第n次背面相遇时，两人的路程差为2ns，每次相遇用的时间相同。
“直线型”总结(熟记)
①两岸型：
第n次迎面相遇，两人的路程和是(2n-1)S。
第n次背面相遇，两人的路程差是(2n-1)S。
②单岸型：
第n次迎面相遇，两人的路程和为2ns，每次相遇用的时间相同。
第n次背面相遇，两人的路程差为2ns，每次相遇用的时间相同。
下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的类型：
{类型一}：根据“2倍关系”求AB两地的距离。
【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B
60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?
A、150 B、170 C、180 D、200
【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。
{类型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。
【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。
两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则
从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?
A、2 B、3 C、4 D、5
【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。
法一：根据相遇全程数。如果是迎面相遇，则走的全程的个数为
个，根据迎面相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3;如果是背面相遇，则走的全程数为
，故在1分50秒内，不能背面相遇。所以共相遇3次。
法二：根据相遇时间。第一次迎面相遇时间为
秒走一个全程。共110秒，共110÷20=5.5个，走的全程数为2n-1=5个，求得n=3;如果是背面相遇，则第一次相遇的时间为
秒>110秒，故不能背面相遇。
{类型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。
【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行
45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，
则A、B相距多少千米?
A、90 B、180 C、270 D、110
【答案及解析】A。法一：相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份。以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，1个全程后在乙端，则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为(2×3-1)×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，2个全程后在甲端，则从甲端数7份。如下图：
由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距
=90千米。
法二：除了上述基础公式的利用，我们也可以引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5。如下图：
根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S/3，同理DO:ON=7：2，则第3次相遇距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为
为40千米，则S=90千米。
w点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则在解决多次相遇问题时会更显直观。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。
用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。
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