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国考行测重点:同余问题中的剩余定理问题

2013-09-10 16:02:55 字号: | | 【 打印 】
    2013年国家公务员考试公共科目考试分为行测和申论,行测以客观题为主,申论重在考察考生的语言组织能力、对事实和政治的把握能力以及结合所给材料分析整理能力,陕西硕文第一时间关注国家公务员局网站并及时更新历年真题、资料及技巧。

  余数问题中的一个重要问题就是同余问题,在同余问题解决过程中,硕文公务员考试研究中心推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期,余同取余,和同加和,差同减差的应用,但是有时候会出现余不同,和不同并且差也不同的现象,这就需要我们采用剩余定理进行解决。

  剩余定理的原理是在“孙子问题”现代数论中的一个一次同余问题,它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说:有物不知其数,三个一数余二,五个一数余三,七个一数又余二,问该物总数几何?显然,这相当于求不定方程组

  N=3x+2,N=5y+3,N=7x+2

  的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价于解下列的一次同余组:

  N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②

  《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单,这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法:三三数之,取数七十,与余数二相乘;五五数之,取数二十一,与余数三相乘;七七数之,取数十五,与余数二相乘。将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数。列成算式就是:

  N=70×3+21×3+15×2-2×105。

  这里105是模数3、5、7的最小公倍数,容易看出,《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形,《孙子算经》术文指出,只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数,那么《孙子算经》相当于给出公式

  N=70×R1+21×R2+15×R3-P×105(p是整数)。

  孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”,就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上,它们具有如下特性:

  也就是说,这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后,再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2,K2=1,K3=1,那么整数Ki(i=1,2,3)的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发,立即可以推出,在余数是R1、R2、R3的情况下,

  综合以上三式又可得到

  因为M=3×5×7可被它的任一因子整除,于是又有:

  这里P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理,可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形:设有一数N,分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn,即

  N≡Ri(modai)(i=1、2、……n),

  只需求出一组数Ki,使满足

  那么适合已给一次同余组的最小正数解是

  (P是整数,M=a1×a2×……×an),这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说,它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。

  剩余定理的原理比较繁琐,不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题,对剩余定理的解题方法加以熟练:

  【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是多少?

  【解析】题中3、4、5三个数两两互质。

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