2012年天津政法干警考试数量关系技巧之容斥问题

2013-08-05 16:12:25 字号：小 | 中 | 大【打印】

　　容斥问题类似于集合的问题。应对解题的方法——公式与画图相结合。容斥问题我们主要掌握两类题型，即两个集合的问题和三个集合的问题。出现此类题目我们既要使用公式法，还要配上图示法。

　　例题演练

　　【例题1】某班56名学生参加了奥数或作文课外小组的活动，其中参加奥数的有32人，参加作文的有35人，问两种都参加的有多少人?( )

　　A. 3 　　B. 11　　C. 21　　 D. 24

　　解析：通过阅读题目，我们可以判断出这是一道典型的两集合的容斥题目，利用公式我们可以进行计算，公式为：A+B-AB=总数-一个都不满足的个数，代入可得：32+35-AB=56，所以AB=11，所以选择B选项。

　　【例题2】某研究室有12人，其中：7人会英语，7人会德语，6人会法语，4人既会英语又会德语，3人既会英语又会法语，2人既会德语又会法语，1人英语、德语、法语三种语言都会。会且只会两种语言的有多少人?( )

　　A. 8 　　B. 4　　C. 5 　　D. 6

　　解析：通过阅读题目，我们可以了解到这是一道三集合的容斥问题，解决这类问题最好的方法就是进行画图分析，我们先来看一下下面的图：

　　由此可得，会且会两种语言的人就是图中的阴影部分，可得6人，所以选择D选项。

　　【例题3】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )

　　A. 15 　　 B. 16 　　 C. 14 　　 D. 18

　　解析：通过观察题目，我们知道此题属于三集合的容斥问题，但是根据我们采用画图的方法进行解题，会发现并不是很容易，针对这类型的题目，我们又进行了总结归纳，得出了一个适用于三集合的公式，即为：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-一个都不满足的数;根据这个公式我们可以对此题进行带入，可得：X+Y+Z-XY-XZ-YZ+XYZ=三个图形所占的面积数，可以得出64+180+160-24-70-36+XYZ=290，通过计算得出XYZ=16，从题目中可知XYZ就是阴影部分，所以答案选择B选项。

　　[点评]容斥问题的基本题型不会超出两集合与三集合，我们除了要熟记公式外，还要学会用图形分析题目，上述三个题目我们已经清楚地向大家介绍了容斥问题的知识点，大家掌握了即可。

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